4 2 uphöjt till 3

En potens kallas en formulering var a kallas basen samt b kallas exponenten samt utläses "a upphöjt mot b". Operationen för att "upphöja" kallas exponentiering.

I grafräknare samt inom datorsammanhang brukar man uttrycka potenser likt var a existerar basen samt b existerar exponenten.

Exempel

[redigera | redigera wikitext]

Uttrycket existerar ett potens samt utläses "4 upphöjt mot 5" var 4 existerar basen samt 5 existerar ett expontent.

Related

betyder precist identisk sak såsom 4 · 4 · 4 · 4 · 4. Alltså, fem stycken fyror gånger varandra vilket existerar lika tillsammans med 1024.

Definitioner

[redigera | redigera wikitext]

I sin enklaste struktur (som tidigare kallades dignitet) definieras potenser vilket resultatet från upprepad multiplikation.

Exempelvis, 4³ (utläses 4 upphöjt mot 3) blir 4 · 4 · 4 = 64. Mer allmänt gäller:

I denna definition förutsätts för att exponenten existerar en positivt heltal.

Ange bara basen och exponenten nedan och klicka på "Beräkna upphöjt till" för att utföra beräkningen

Potenslagarna

[redigera | redigera wikitext]

Ur definitionen från potenser tillsammans med positiva anförande likt heltalsexponent, förmå potenslagarna härledas:

Utgående ifrån dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser från potens.

Utvidgning mot samtliga heltal

[redigera | redigera wikitext]

Med utgångspunkt inom för att potenslagarna skall gälla även då exponenten existerar en negativt heltal, följer från den näst sista potenslagen ovan för att

• a⁰ = 1 (om a ≠ 0) angående m = n. Exempel: 2⁰ = 1 (läs mer beneath tom produkt)
• a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (om a ≠ 0) angående m < n.

  Exempel: 2⁻¹ = 1/2¹ = 1/2 .

För a = 0 går detta ej för att ge ett definition till a^x annat än ifall x > 0. Speciellt hör uttrycket 0⁰ mot dem odefinierbara uttrycken.

Exempel 2

Utvidgning till rationella exponenter

[redigera | redigera wikitext]

Genom för att tillämpa den sista potenslagen är kapabel även potenser tillsammans med rationella exponenter beräknas, förutsatt för att basen existerar större än noll.

• x = a^p/q (där a > 0) existerar detta positiva anförande x liksom möter x^q = a^p eftersom x^q = (a^p/q)^q = a^{p/q ∙ q} = a^p .

Speciellt betecknas a^1/2 liksom (kvadrat)roten ur a (skrives) samt a^1/3 likt kubikroten ur a (skrives ).

Om basen existerar noll alternativt mindre, existerar potensen ej definierad, vilket beror vid för att angående p existerar udda samt q existerar jämnt går detta ej för att erhålla likhet på grund av negativa anförande a. Udda rötter existerar däremot definierade på grund av samtliga reella anförande.

Utvidgning till samtliga reella exponenter

[redigera | redigera wikitext]

Om exponenten existerar irrationell, detta önskar yttra reell dock ej rationell, utgår man ifrån kontinuitetsprincipen:

Om x₁<y<x₂ således bör a^x₁<a^y<a^x₂ gälla (där a>1), samt genom för att låta x₂ − x₁ bli allt mindre, bestäms a^y likt en gränsvärde.

(Om 0<a<1 gäller omvända olikheter.)

Alternativ definition från exponentialfunktionen

[redigera | redigera wikitext]

Det existerar även möjligt för att nyttja a^x = e^{x ln a} till för att definiera potensfunktionen.

En sådan definition kunna göras tillsammans exponentialfunktionens serieutveckling:

eller utgå ifrån ett definition från den naturliga logaritmen:

Utvidgning till komplexa tal

[redigera | redigera wikitext]

Imaginära exponenter tillsammans med basen e

[redigera | redigera wikitext]

Ett komplext anförande existerar en formulering från formen , var x samt y existerar reella anförande samt i existerar den imaginära enheten, en anförande vilket satisfierar regeln .

Använd vårt verktyg här nedan för att snabbt och enkelt räkna ut ett valfritt tal upphöjt till valfri exponent

en komplext anförande är kapabel åskådliggöras liksom enstaka punkt inom (x,y)-planet. dem relaterade till poler eller motsatser koordinaterna till enstaka punkt inom (x,y)-planet består från detta icke-negativa talet r samt vinkeln θ liknande för att x = r cos θ samt y = r sin θ:

Produkten från numeriskt värde komplexa anförande z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = x₂ + iy₂ erhålls genom expansion från produkten från binomen samt förenkling tillsammans hjälp från regeln :

Som enstaka effekt från formler på grund av trigonometriska vinkelsummor; angående z₁ samt z₂ besitter dem relaterade till poler eller motsatser koordinaterna (r₁, θ₁), (r₂, θ₂), därför existerar deras vara z₁z₂ inom relaterade till poler eller motsatser koordinater lika tillsammans (r₁r₂, θ₁ + θ₂).

Lösningarna mot ekvationen e^z = 1 existerar heltalsmultiplarna 2πi:

Mera allmänt, angående e^v = w, därför kunna varenda lösninig mot e^z = w erhållas genom addition från ett heltalsmultipel 2πi mot v:

Således existerar den komplexa exponentialfunktionen enstaka periodisk funktion tillsammans med perioden 2πi:

.

Mer ifall potensers egenskaper

[redigera | redigera wikitext]

Till skillnad ifrån addition samt multiplikation besitter operationen exponentiering nästan ingen från "de vanliga" algebraiska egenskaperna, likt brukar användas till för att förenkla räkningar.

från potenslagarna är kapabel man utläsa, för att exponentiering existerar högerdistributiv tillsammans med avseende vid multiplikation (det önskar yttra att (a · b)^c = a^c · b^c); samt operationen besitter detta högerneutrala elementet 1 (eftersom a¹ = a.

c) Det är ingen skillnad för decimaltal

Däremot existerar exponentiering ej vänsterdistributiv, samt saknar vänsterneutralt element).

Exponentiering existerar ej heller kommutativ. Exempelvis existerar 2 + 3 = 5 = 3 + 2 samt 2 · 3 = 6 = 3 · 2, eftersom addition samt multiplikation existerar kommutativa operationer, dock 2³ = 8, vilket ej existerar detsamma likt 3² = 9.

Exponentiering existerar ej heller associativ, mot skillnad ifrån addition samt multiplikation. Exempelvis existerar (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 samt (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, dock 2³ upphöjt mot 4 existerar 8⁴ = 4 096, medan 2 upphöjt mot 3⁴ existerar 2⁸¹ = 2 417 851 639 229 258 300 000 000.

Observera för att angående man ej använder parenteser till för att ändra prioriteringsordningen, sålunda "beräknas exponenter först", således för att mot modell

.

(Detta gäller oberoende från angående man använder detta vanliga beteckningssättet tillsammans "små upphöjda" exponenter, alternativt inom stället betecknar exponentiering medelst symbolen ^.

inom datoralgebrasystem gäller alltså normalt tolkningen b^p^q = b^(p^q) ≠ (b^p)^q.)

Funktioner tillsammans med potenser

[redigera | redigera wikitext]

Till viktiga funktionstyper likt besitter sitt ursprung ur potenser räknas

Se även

[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar

[redigera | redigera wikitext]