Vad är beno i matematik

Symbol Funktion Utläses Område + additionplusaritmetik4 + 6 = 10 betyder: angående 4 adderas mot 6 blir summan, alternativt resultatet, 10.

Ordet Algebra kommer från det arabiska ordet Al´djabr och betyder återförening eller koppling

43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9 − subtraktionminusaritmetik9 − 4 = 5 betyder: ifall 4 dras ifrån 9 sålunda blir resultatet 5. Tecknet − äger sammanlagt tre olika betydelser. liksom unär operator betecknar den "motsatta talet", samt liksom prefix betecknar den en negativt anförande.

mot exempel: 5 + (−3) = 2 betyder för att ifall fem samt minus tre adderas blir resultatet numeriskt värde. 36 − 5 = 31 (subtraktion); 4 − (−3) = 7 (negativt tal); −a existerar en positivt anförande ifall a < 0 (motsatta talet) ± plus-minusplus alternativt minusaritmetik± är enstaka tecken liksom både betyder + samt −, vilket både förmå avse positiva/negativa värden respektive addition samt subtraktion.

Tecknet används bland annat på grund av för att förklara lösningar mot ekvationer tillsammans med numeriskt värde olika lösningar. x ± 3 = (x + 3) samt (x − 3) ∓ minus-plusminus alternativt plusaritmetik∓ är ett tecken liksom både betyder − samt +, vilket både förmå avse negativa/positiva värden respektive subtraktion samt addition.

Symbolen används framförallt inom samband tillsammans med ±, samt avser då för att detta omvända tecknet mot ± bör användas. x ± y ∓ 3 = (x + y − 3) samt (x − y + 3) ⇒
→ implikationimplicerar; ifall .. därför satslogikA ⇒ B betyder: ifall A existerar verklig existerar B även sann; ifall A existerar falsk existerar ingenting sagt ifall B.
→ kunna betyda identisk sak vilket ⇒, alternativt den förmå syfta vid funktioner (se nedan) x = 2  ⇒  x² = 4 existerar sant, dock x² = 4   ⇒  x = 2 existerar falskt (eftersom x även skulle behärska artikel −2) ⇔
↔ ekvivalensom samt endast om; omm satslogikA ⇔ B betyder: A existerar verklig angående B existerar verklig, samt A existerar falsk angående B existerar falsk.

x + 5 = y + 2  ⇔  x + 3 = y∵ eftersomty; därför att; vid bas från för att satslogikSokrates existerar ett man.

Sokrates existerar dödlig ∵ varenda män existerar dödliga.

xy = 0 ∵ y = 0 ∴ alltsåalltså; detta betyder för att satslogikAlla män existerar dödliga samt Sokrates existerar enstaka man.

∴ Sokrates existerar dödlig.

x + 3 = 4

∴ x = 1

∧ logiskt "och"OCH satslogikPåståendet A ∧ B existerar sant ommA samt B båda existerar sanna; annars existerar detta falskt.

Så används exempelvis i vissa sammanhang tecknet ≡ snarare än = för att representera likhet

n < 4  ∧  n > 2  ⇔  n = 3 då existerar en naturligt tal∨ logiskt "eller"ELLERsatslogikPåståendet A ∨ B existerar sant angående A alternativt B (eller båda) existerar sanna; angående båda existerar falska existerar påståendet falskt.

n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 då existerar en naturligt tal¬
/ logisk negationICKEsatslogikPåståendet ¬A existerar sant ifall A existerar falskt.
Ett snedstreck genom ett ytterligare operator existerar likvärdig tillsammans en "¬" framför.

¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B);  ∉   ⇔  ¬( ∈ ) ; semikolonsådant attöverallt Välj en x ∈ C ; x⁴ = 1. Då besitter man fyra olika möjligheter för att välja x, nämligen 1, -1, i samt -i.

Till vardags kan man höra folk kalla algebra för bokstavsräkning

titta även ∀ , ∃ ∀ allkvantifikatorför alla; till vilken likt helst; till varenda predikatlogik∀ x: P(x) betyder: P(x) existerar verklig till samtliga x∀ n ∈ N: n² ≥ n∃ existenskvantifikatordet existerar predikatlogik∃ x; P(x) betyder: detta finns åtminstone en x sådant för att P(x) existerar sant.

∃ n ∈ N; n + 5 = 2n∃! entydighetDet existerar en unikt; detta existerar en samt endast en predikatlogik∃! x; P(x) betyder: detta finns detaljerad en x sådant för att P(x) existerar sant.

∃! n ∈ N; n + 5 = 2n= likhetsteckenär lika medöverallt  = betyder: samt existerar olika namn vid enstaka samt identisk sak. 1 + 2 = 6 − 3 :=
:⇔
≡ definitiondefinieras som; definieras genom överallt  := betyder: definieras för att existera en annat namn vid
 :⇔ betyder: definieras för att artikel logiskt likvärdig tillsammans med cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) { , } mängdklammermängden ...mängdlära{,,} betyder: kvantiteten likt består från , , samt N = {0,1,2,...} { : }
{ | } mängdbyggarnotationmängden från varenda ...

liknande för att ...

mängdlära{x : P(x)} betyder: kvantiteten från varenda x på grund av vilka P(x) existerar sant. {x | P(x)} existerar identisk sak vilket {x : P(x)}. {n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4} ∅
{} tomma mängdentomma mängdenmängdlära{} betyder: kvantiteten utan element; ∅ existerar identisk sak {n ∈ N : 1 < n² < 4} = {} ∈
∉ tillhöri; finns i; existerar en element i; tillhör mängdläraa ∈ S betyder: a existerar en element inom kvantiteten S; a ∉ S betyder: a existerar ej en element inom kvantiteten S(1/2)⁻¹ ∈ N; 2⁻¹ ∉ N⊆
⊂ delmängdär enstaka delmängd avmängdläraA ⊆ B betyder: varenda element inom A existerar även en element inom B
A ⊂ B betyder:  ⊆ dock A ≠ BA ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R⊇
⊃ supermängdär ett supermängd tillmängdläraA ⊇ B betyder: A innehåller delmängden B, d.v.s.

varenda element inom B finns även inom A
A ⊃ B betyder:  ⊇ dock A ≠ B  ∪ unionunionen från ... samt ...; union mängdläraA ∪ B betyder: kvantiteten liksom innehåller varenda element likt finns inom A dock även samtliga liksom finns inom B, dock inga andra.

I detta inledande kapitel repeterar vi främst sådant som vi har lärt oss i grundskolan om olika typer av tal och räkneregler som gäller

A ⊆ B  ⇔  A ∪ B = B∩ snittsnittet mellan... samt ...; snitt mängdläraA ∩ B betyder: kvantiteten såsom innehåller varenda element såsom A samt B äger gemensamt.

{x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1} \ mängddifferensminus; utommängdläraA \ B betyder: kvantiteten från element liksom finns inom A dock ej inom B{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2} komplementkomplementet mot mängdlära betyder: kvantiteten från element såsom ej tillhör kvantiteten A ( )
[ ]
{ } funktionsverkan; grupperingav mängdlära
analysför funktionsverkan: () betyder: värdet från funktionen liksom verkar vid elementet
för gruppering: utför operationerna inuti parenteserna inledningsvis.

Om () := ² således (3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, dock 8/(4/2) = 8/2 = 4 f:X→Yfunktionspilfrån ... tillfunktioner:  → betyder: funktionen avbildar kvantiteten vid kvantiteten Betrakta funktionen : Z → N likt definieras genom () = ²ℕ naturliga talℕtalℕ (alternativt N) betyder: {0, 1, 2, 3, …} { |a| : a ∈ ℤ} = ℕ ℤ heltalℤtalℤ (alternativt Z) betyder: {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} {a : |a| ∈ ℕ} = ℤ ℚ rationella talℚtalℚ (alternativt Q) betyder: {p/q : p,q ∈ ℤ, q ≠ 0} 3.14 ∈ ℚ; π ∉ ℚ ℝ reella talℝtalℝ (alternativt R) betyder: {lim_n→∞ a_n : ∀ n ∈ ℕ: _n ∈ ℚ, gränsvärdet existerar} π ∈ ℝ; √(−1) ∉ ℝ ℂ komplexa talℂtalℂ (alternativt C) betyder: {a + bi : a,b ∈ ℝ} i = ∈ ℂ <
> jämförelseär mindre än, existerar större än partiell ordningx < y betyder: x existerar mindre än y; x > y betyder: x existerar större än yx < y  ⇔   > ≤
≥ jämförelse är mindre än alternativt lika tillsammans med, existerar större än alternativt lika tillsammans partiell ordning ≤ betyder: existerar mindre än alternativt lika tillsammans ; x ≥ y betyder: x existerar större än alternativt lika tillsammans med yx ≥ 1  ⇒  x² ≥ xkvadratrotkvadratroten ur; kvadratrot reella tal betyder: detta positiva anförande vars kvadrat existerar xoändlighetoändlighettal existerar detta element inom den utvidgade talaxeln såsom existerar större än varenda reella tal; detta används ofta inom gränsvärdenπ pipiEuklidisk geometri betyder: kvoten från ett cirkels omkrets tillsammans med dess diameter existerar arean från enstaka cirkel tillsammans radien r!

fakultetfakultetkombinatorikn! existerar produkten 1·2·...·n4! = 24 ; 1·2·3·4 | | absolutbeloppabsolutbeloppet av; beloppet från tal|| betyder: avståndet längs reella axeln (eller inom detta komplexa planet) mellan samt noll|| || normnormen av; längden från funktionalanalys|||| existerar normen från elementet x inom en normerat vektorrum||x+y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∑ summationsumman från ...

ovan ... ifrån ... mot ...

[3]

aritmetik betyder: samt utläses: summera k kvadrat ovan varenda k ifrån 1 mot 4 ∏ produktprodukten från ... ovan ... ifrån ... mot ... aritmetik betyder:

∫ integrationintegralen ifrån ...

Matematik (från grekiska: Μαθηματικά) är en abstrakt och generell vetenskap om problemlösning och metodutveckling [3] – abstrakt därför att den frigjort sig från problemens konkreta ursprung och generell därför att den är tillämpbar i ett stort antal områden och teoretiska modeller

mot ... från ... tillsammans avseende vid analys betyder: arean mellan x-axeln samt grafen från funktionenf ifrån  = a mot  = b, var dem delar vilket ligger beneath x-axeln räknas såsom negativ area. cirkulationsintegralcirkulationsintegral analys liknande vilket integral, används till för att beteckna enstaka enda integration ovan ett sluten kurva alternativt loop.

f ´ deriveringderivatan från f; f prim analysf ´(x) existerar derivatan mot funktionen f inom punkten x, d.v.s. lutningen från tangenten inom denna punkt. Om f(x) = x², således existerar f´ (x) = 2xf ´´ andraderivataandraderivatan från f; f bis analysf ´´(x) existerar andraderivatan mot funktionen f inom punkten x, d.v.s.

Årskurs 9 Uttryck, ekvationer och funktioner: Uttryck med variabler

derivatan från funktionen f´(x). Om f(x) = x⁴ + x², sålunda existerar f ´´(x) = 12x² + 2f⁽ⁿ⁾n-derivatan-derivatan från f; n:te derivatan från fanalysf⁽ⁿ⁾(x), var n existerar en heltal, definieras rekursivt genom för att yttra för att n:te derivatan existerar derivatan från f^(n-1).

Om f(x) = e^kx, därför existerar f⁽ⁿ⁾(x) = kⁿe^kx∇ gradientdel, nabla, gradienten från analys∇f (x₁, …, x_n) existerar vektorn vilket bildas från samtliga partiella derivator (df / dx₁, …, df / dx_n) Om f (x,y,z) = 3xy + z² således existerar ∇f = (3y, 3x, 2z)

En foto till användning inom skrivelse är: Bild:Del.svg ().

∇· divergensdiv, divergensen från analysLåt v = (v₁, ... ,v_n) artikel ett vektor, samt varenda v_i = v_i(x₁, ..., x_n) existerar ett funktion definierad inom enstaka given delmängd från Rⁿ.

Divergensen från v definieras då som: ∇·v = ∑_k=1ⁿdv_k/dx_kOm v (x,y,z) = (3xy², y+z, xz-2y³), sålunda existerar ∇·v = 3y² + 1 + x  ∇× rotationrot, rotationen från analysLåt v = (v₁, v₂ ,v₃) artikel enstaka vektor inom R³, samt varenda v_i = v_i(x,y,z) existerar enstaka funktion definierad inom ett given delmängd från R³.

Rotationen från v definieras då som:

∇×v = ( dv₃/dy - dv₂/dz, dv₁/dz - dv₃/dx, dv₂/dx - dv₁/dy)

Om v (x,y,z) = (3xy², y+z, xz-2y²), därför existerar ∇×v = (-4y-1, 0-z, 0-6xy) = (-4y-1,-z,-6xy) ∇²
∆ Laplaceoperatorn  analys, vektoranalys∇²f (x₁, …, x_n) = ∇·(∇f) = (d²f / dx²₁ + … + d²f / dx²_n) Om f (x,y,z) = 3sin(xy) + z²; därför existerar ∇²f = -3(y² + x²)sin(xy)+2